Calcular as seguintes integrais reiteradas:
\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\!\!dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}\;dy.
Isso equivale a avaliar uma integral dupla da função \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} sobre o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\ge0, 0\le\theta\le\pi/2 e r\le1. O jacobiano da transformação é dx\,dy = r\,dr\,d\theta. O domínio original corresponde a
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le\pi/2.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1}\!\!dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}\;dy =\int_{0}^{\pi/2}\!\!d\theta\int_{0}^{1}\sqrt{1 - r^{2}}\;r\,dr.

Passo 4

Calcular a parte radial
\int_{0}^{1}r\sqrt{1 - r^{2}}\,dr.
Fazendo u=1-r^{2}, du=-2r\,dr, vai de u(0)=1 a u(1)=0, logo
\int_{0}^{1}r\sqrt{1 - r^{2}}\,dr =\frac12\int_{1}^{0}u^{1/2}(-du) =\frac12\int_{0}^{1}u^{1/2}du =\frac12\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{3}.

Passo 5

Sobra a parte angular
\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{3}\,d\theta =\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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