Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular de 64 raiz2 m^3 de volume forma com as arestas laterais, sabendo que as arestas da base do prisma medem 4 m .

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a diagonal espacial de um prisma quadrangular regular e uma aresta lateral. O conteúdo é geometria no espaço: vamos usar volume para encontrar a altura do prisma, depois calcular a diagonal do prisma e aplicar produto escalar para achar o ângulo.

Passo 2

Como o prisma é de base quadrada de lado 4,m, a área da base vale
Abase = 4^2 = 16 m^2
O volume é dado por V = Abase cdot h, e sabemos que
V = 64raiz2 m^3
Logo, a altura h satisfaz
16,h = 64raiz2 Longrightarrow h = 64raiz216 = 4raiz2 m

Passo 3

A diagonal da base (um quadrado de lado 4) mede
dbase = 4raiz2 m
A diagonal espacial do prisma une um vértice da base ao vértice oposto na face superior, de comprimento
d = raizdbase^2 + h^2 = raiz(4raiz2)^2 + (4raiz2)^2 = raiz32 + 32 = raiz64 = 8 m

Passo 4

Escolhemos um sistema de eixos tal que a aresta lateral seja o vetor
e=(0,0,h)=(0,0,4raiz2),
e a diagonal do prisma seja
d=(4,4,h)=(4,4,4raiz2)
O cosseno do ângulo theta entre eles é
costheta = d!cdot!e|d|;|e| = 0+0+(4raiz2)(4raiz2)8cdot(4raiz2) = 3232raiz2;=;1raiz2
Daí
theta = arccos!l(tfrac1raiz2r)=45^circ

Resposta

O ângulo entre a diagonal espacial e a aresta lateral é 45^circ.

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