Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular de
de volume forma com as arestas laterais, sabendo que as arestas da base do prisma medem 4 m .
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre a diagonal espacial de um prisma quadrangular regular e uma aresta lateral. O conteúdo é geometria no espaço: vamos usar volume para encontrar a altura do prisma, depois calcular a diagonal do prisma e aplicar produto escalar para achar o ângulo.
Passo 2
Como o prisma é de base quadrada de lado
,m, a área da base vale
O volume é dado por
, e sabemos que
Logo, a altura
satisfaz
Passo 3
A diagonal da base (um quadrado de lado
) mede
A diagonal espacial do prisma une um vértice da base ao vértice oposto na face superior, de comprimento
Passo 4
Escolhemos um sistema de eixos tal que a aresta lateral seja o vetor
e a diagonal do prisma seja
O cosseno do ângulo
entre eles é
Daí
Resposta
O ângulo entre a diagonal espacial e a aresta lateral é
.