Determine a medida da aresta e a área total de um prisma reto que tem por base um triângulo equilátero, sendo a altura do prisma igual à medida do lado do triângulo equilátero, e o volume, 2 raiz3 cm^3.

Passo 1

O enunciado descreve um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado a e cuja altura do prisma é igual a a. Sabemos que o volume de um prisma é dado por
V = (área da base) times h á
e que a área de um triângulo equilátero de lado a vale
a^2raiz34
O volume é fornecido: V=2raiz3,cm^3. Vamos usar essas fórmulas para encontrar a.

Passo 2

Calculamos a área da base e expressamos o volume em função de a:
área da base = a^2raiz34, á
V = a^2raiz34cdot a = a^3raiz34

Passo 3

Igualamos ao volume dado e resolvemos para a:
a^3raiz34 = 2raiz3 Longrightarrow a^34=2 Longrightarrow a^3=8 Longrightarrow a=2,cm

Passo 4

Agora, calculamos a área total do prisma.
Área de uma base:
Abase = a^2raiz34 = 4raiz34 = raiz3,cm^2
Duas bases:
2Abase = 2raiz3,cm^2
Área lateral (perímetro da base 3a vezes altura a):
Alateral = (3a)cdot a = 3a^2 = 3cdot4 = 12,cm^2
Somando, a área total é
Atotal = Alateral + 2Abase = 12 + 2raiz3,cm^2

Resposta

A aresta (e altura do prisma) é 2,cm.
A área total do prisma é 12 + 2raiz3,cm^2.

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