Um prisma hexagonal regular tem a área da base igual a 96 raiz3 cm^2. Calcule a área lateral e o volume do prisma, sabendo que sua altura é igual ao apótema da base.

Passo 1

O enunciado fala de um prisma reto cuja base é um hexágono regular de área 96raiz3,cm^2 e cuja altura do prisma é igual ao apótema dessa base. Vamos precisar de:
– A fórmula da área de um hexágono regular em função do lado a, via Abase = P,r2, onde P é o perímetro e r o apótema.
– A relação entre lado e apótema num hexágono regular: r = tfracraiz32,a.
– As fórmulas do prisma: área lateral AL = P cdot h e volume V = Abasecdot h.

Passo 2

Denotando por a o lado do hexágono, o perímetro é P=6a e o apótema é
r = raiz32,a
Logo a área da base vale
Abase = P,r2 = 6a;l(tfracraiz32,ar)2 = 6a^2raiz34 = 3a^2raiz32
Como Abase=96raiz3, temos
3a^2raiz32 = 96raiz3 Longrightarrow 3a^2 = 192 Longrightarrow a^2 = 64 Longrightarrow a = 8 cm

Passo 3

Com a=8,cm, o apótema da base (que é a altura do prisma) é
h = r = raiz32,a = raiz32times 8 = 4raiz3 cm

Passo 4

A área lateral do prisma é
AL = P cdot h = (6a),h = 6cdot 8 cdot 4raiz3 = 192raiz3 cm^2

Passo 5

O volume do prisma é
V = Abasecdot h = 96raiz3times 4raiz3 = 96 times 4 times 3 = 1152 cm^3

Resposta

Área lateral: 192raiz3 cm^2
Volume: 1152 cm^3

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