Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 3 cm sua altura e 10 cm a medida da aresta da base.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral e a área total de uma pirâmide regular de base hexagonal, cuja aresta da base mede a=10 cm e cuja altura (distância do vértice ao plano da base) é h=3 cm. Vamos usar as fórmulas de apótema do hexágono, altura lateral (geratriz) da pirâmide e áreas de polígono regular e de triângulos.

Passo 2

Primeiro encontramos o apótema da base hexagonal, que é a distância do centro ao ponto médio de um lado. Para um hexágono regular de aresta a,
r = araiz32 Longrightarrow r = 10raiz32 = 5raiz3 cm

Passo 3

A geratriz (altura lateral) l da pirâmide é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos h e r. Logo,
l = raizh^2 + r^2 = raiz3^2 + l(5raiz3r)^2 = raiz9 + 75 = raiz84 = 2raiz21 cm

Passo 4

Cada face lateral é um triângulo de base a e altura l. Sua área é
Atriang<= = a , l2 = 10 cdot (2raiz21)2 = 10raiz21 cm^2
Como há 6 faces idênticas,
Área lateral AL = 6 times 10raiz21 = 60raiz21 cm^2 Á

Passo 5

A área da base hexagonal regular é
AB = Pcdot r2 = 6a cdot r2 = 6cdot 10 cdot 5raiz32 = 150raiz3 cm^2
Portanto, a área total da pirâmide é
AT = AL + AB = 60raiz21 + 150raiz3 cm^2

Resposta

Área lateral: 60raiz21 cm^2
Área total: 60raiz21 + 150raiz3 cm^2

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