Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a diagonal da base da pirâmide mede 8 raiz2 cm e a aresta lateral é igual à diagonal da base.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide quadrangular regular cuja diagonal da base mede 8raiz2 cm e cuja aresta lateral ell é igual a essa diagonal. Pede-se a área lateral, isto é, a soma das áreas dos quatro triângulos isósceles que formam as faces laterais. Para resolver, vamos determinar:
  1. o lado a do quadrado da base;
  2. o apótema lateral (altura de cada face) s;
  3. a área de cada face e, por fim, a área lateral total.

Passo 2

Na base quadrada, a diagonal d e o lado a satisfazem
d = araiz2
Como d = 8raiz2, segue que
araiz2 = 8raiz2 Longrightarrow a = 8 cm

Passo 3

Cada face lateral é um triângulo isósceles de base a e lados iguais a ell = 8raiz2. A altura s desse triângulo (apótema) sai do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo de catetos s e a/2:
s = raizell^2 - l(tfraca2r)^2 = raiz(8raiz2)^2 - 4^2 = raiz128 - 16 = 4raiz7 cm

Passo 4

A área de cada face lateral vale tfraca,s2. Logo, a área lateral total é
4 cdot a,s2 = 4 cdot 8 cdot 4raiz72 = 64raiz7

Resposta

A área lateral da pirâmide é 64raiz7 cm^2.

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