Calcule a área total e o volume de uma cunha esférica de 30^circ, sendo r o raio da esfera.

Passo 1

O enunciado pede a área total e o volume de uma cunha esférica de ângulo diedro de 30^circ numa esfera de raio r. Vamos usar a ideia de que tanto a área curva quanto o volume são frações, dadas pelo quociente do ângulo sobre 2pi, da área e do volume totais da esfera.

Passo 2

Converter o ângulo para radianos:
theta = 30^circ = pi6

Passo 3

Calcular a área da superfície esférica curva da cunha. É uma fração theta/(2pi) da área total 4pi r^2:
Área curva =4pi r^2cdottheta2pi =2theta r^2 =2cdotpi6,r^2 =pi r^23 Á

Passo 4

Cada face plana é um semicírculo de raio r, com área tfrac12pi r^2. Como há duas faces planas,
Área plana total =2cdotpi r^22 =pi r^2 Á

Passo 5

Somando as áreas curva e planas:
Área total =pi r^23+pi r^2 =4pi r^23 Á

Passo 6

Calcular o volume da cunha esférica. É a fração theta/(2pi) do volume total tfrac4pi r^33:
Volume =4pi r^33cdottheta2pi =2theta r^33 =2(pi/6),r^33 =pi r^39

Resposta

Área total: 4pi r^23.
Volume: pi r^39.

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