A área de uma seção plana de uma esfera é 144 pi cm^2. Calcule a superfície da esfera, sabendo que a distância ao centro da esfera é 5 cm .

Passo 1

O enunciado nos dá a área de uma seção plana (círculo) de uma esfera igual a ,144pi cm^2, e informa que a distância dessa seção até o centro da esfera é de 5 cm. Queremos encontrar a área da superfície da esfera. Para isso, vamos:
  1. Determinar o raio r' do círculo da seção.
  2. Usar a relação entre o raio da esfera R, a distância d ao plano da seção e o raio r' desse círculo.
  3. Calcular a área da superfície da esfera sabendo R.

Passo 2

Como a área do círculo da seção é ,144pi cm^2, temos
pi,(r')^2 = 144pi
Logo,
(r')^2 = 144
r' = 12 cm

Passo 3

A relação geométrica entre o raio da esfera R, a distância do plano ao centro d e o raio da seção r' é
(r')^2 + d^2 = R^2
Substituindo r'=12 cm e d=5 cm, temos
R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169,
R = 13 cm

Passo 4

A área da superfície de uma esfera de raio R é dada por
4pi R^2
Portanto, substituindo R=13 cm,
Área = 4pi times 13^2 = 4pi times 169 = 676pi cm^2 Á

Resposta

A área da superfície da esfera é 676pi cm^2.

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