Calcule
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2−𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1−2𝑦2.
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2−𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1−2𝑦2.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é dado por
Este é um problema de integrais triplas em coordenadas cartesianas: primeiro a gente projeta a região no plano
, depois integra em
, e por fim em
.
Passo 2
Para que exista intervalo em
precisamos de
Então a projeção de
no plano
é o disco
e para cada
,
Passo 3
Escrevendo a integral em forma iterada:
Simplificando o colchete:
Logo
Passo 4
Note que
é simétrico em relação ao eixo
e a função
é ímpar em
(isto é, troca de
por
muda o sinal). A integral de uma função ímpar sobre uma região simétrica em
vale zero. Portanto