Calcule
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2−𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1−2𝑦2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{B} x \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
onde B é dado por
x^2 - y^2 \le z \le 1 - 2y^2.
Este é um problema de integrais triplas em coordenadas cartesianas: primeiro a gente projeta a região no plano xy, depois integra em z, e por fim em x,y.

Passo 2

Para que exista intervalo em z precisamos de
x^2 - y^2 \le 1 - 2y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 \le 1 - y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 \le 1.
Então a projeção de B no plano xy é o disco
D = \bigl\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\bigr\},
e para cada (x,y)\in D,
z\;\text{varia de}\;z = x^2 - y^2 \;\text{até}\; z = 1 - 2y^2.é

Passo 3

Escrevendo a integral em forma iterada:
\iiint_{B} x\,\mathrm{d}V = \iint_{D}\!\Bigl[\int_{z=x^2 - y^2}^{\,1 - 2y^2}x\,\mathrm{d}z\Bigr]\mathrm{d}A = \iint_{D}x\bigl[(1 - 2y^2)-(x^2-y^2)\bigr]\mathrm{d}A.
Simplificando o colchete:
(1 - 2y^2)-(x^2-y^2) =1 - x^2 - y^2.
Logo
\iiint_{B} x\,\mathrm{d}V = \iint_{D}x\,(1 - x^2 - y^2)\,\mathrm{d}A.

Passo 4

Note que D é simétrico em relação ao eixo y e a função x\,(1-x^2-y^2) é ímpar em x (isto é, troca de x por -x muda o sinal). A integral de uma função ímpar sobre uma região simétrica em x vale zero. Portanto
\iiint_{B} x\,\mathrm{d}V = 0.

Resposta

0

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