Calcule
∫∫∫𝐵 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2+𝑧2 ≤ 4, 𝑧 ≥ 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} 2z \,dx\,dy\,dz
onde B é a meia-esfera de raio 2 (ou seja, x^2+y^2+z^2\le4 e z\ge0). Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a região é simétrica em x,y e o integrando depende só de z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
e o elemento de volume
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
A condição x^2+y^2+z^2\le4 vira r^2+z^2\le4, e z\ge0. Logo
0\le z\le2,\quad 0\le r\le\sqrt{4-z^2},\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Substituindo 2z e dV=r\,dr\,d\theta\,dz, a integral fica
\int_{z=0}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{4-z^2}} 2z\;r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{4-z^2}}2z\;r\,dr =2z\;\frac{r^2}{2}\Bigg|_{0}^{\sqrt{4-z^2}} = z\,(4 - z^2).

Passo 5

Agora integramos em \theta, que só traz um fator 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
então a integral reduz para
2\pi\int_{0}^{2}z\,(4 - z^2)\,dz.

Passo 6

Basta calcular
\int_{0}^{2}z\,(4 - z^2)\,dz =\int_{0}^{2}(4z - z^3)\,dz =\Bigl[2z^2 - \tfrac{z^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} =2\cdot4 - \tfrac{16}{4} =8 - 4 =4.

Passo 7

Multiplicando pelo 2\pi obtemos
2\pi \times 4 = 8\pi.

Resposta

8\pi

Exercícios de Livros Relacionados