Calcule
∫∫∫𝐵 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2+𝑧2 ≤ 4, 𝑧 ≥ 0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} 2z \,dx\,dy\,dz
onde B é a meia-esfera de raio 2 (ou seja, x^2+y^2+z^2\le4 e z\ge0). Vamos usar coordenadas cilíndricas porque a região é simétrica em x,y e o integrando depende só de z.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
e o elemento de volume
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
A condição x^2+y^2+z^2\le4 vira r^2+z^2\le4, e z\ge0. Logo