Calcule
∫∫∫𝐵 𝑒𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral triplo
\iiint_{B} e^{x^2}\,dx\,dy\,dz,
onde B=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x,\;0\le z\le1\}.
Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever o integral como iterado e depois fazer uma substituição para resolver o integral em x.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos ordenar assim:
\iiint_{B} e^{x^2}\,dx\,dy\,dz =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}\!\int_{z=0}^{1} e^{x^2}\,dz\,dy\,dx.
Note que e^{x^2} não depende de y nem de z, então os integrais internos são apenas comprimentos de intervalo.

Passo 3

Calculamos os integrais em y e em z:
\int_{y=0}^{x}dy = x, \qquad \int_{z=0}^{1}dz = 1.
Logo o integral reduz-se a
\int_{0}^{1} x\,e^{x^2}\,dx.

Passo 4

Para resolver \displaystyle \int_{0}^{1} x\,e^{x^2}\,dx, fazemos a substituição
u = x^2,\quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \tfrac12\,du.
Quando x=0, u=0; quando x=1, u=1. Assim
\int_{0}^{1} x\,e^{x^2}\,dx = \tfrac12 \int_{0}^{1} e^{u}\,du = \tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac12\,(e-1).

Passo 5

Portanto, o valor do integral triplo original é
\frac{e-1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e-1}{2}

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