Calcule
∫∫∫𝐵 𝑒𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
∫∫∫𝐵 𝑒𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral triplo
onde
.
Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever o integral como iterado e depois fazer uma substituição para resolver o integral em .
Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever o integral como iterado e depois fazer uma substituição para resolver o integral em
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini, podemos ordenar assim:
Note que
não depende de
nem de
, então os integrais internos são apenas comprimentos de intervalo.
Passo 3
Calculamos os integrais em
e em
:
Logo o integral reduz-se a
Passo 4
Para resolver
, fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 5
Portanto, o valor do integral triplo original é