Calcule
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, e 𝑥+𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦+1.
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, e 𝑥+𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦+1.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
,
onde é o sólido
onde
Usaremos integração iterada e, em seguida, coordenadas polares no plano
.
Passo 2
Integramos primeiro em
, pois os limites em
são simples:
onde
é a semicircunferência de raio
para
.
Passo 3
No plano
, o domínio
é a metade direita do disco de raio
. Para aproveitar a simetria, faça
com
e
. O jacobiano é
.
Passo 4
A integral torna-se
Passo 5
Calcule a parte radial:
E a parte angular:
Passo 6
Multiplicando os resultados: