Calcule
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, e 𝑥+𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦+1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{B} x \,dx\,dy\,dz,
onde B é o sólido
B = \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le4,\;x\ge0,\;x+y\le z\le x+y+1\}.
Usaremos integração iterada e, em seguida, coordenadas polares no plano xy.

Passo 2

Integramos primeiro em z, pois os limites em z são simples:
\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{B} x\,dx\,dy\,dz =\iint_{D}\biggl[\int_{z=x+y}^{\,x+y+1}x\,dz\biggr]dA =\iint_{D}x\,(x+y+1 - (x+y))\,dA =\iint_{D}x\,dA,
onde
D = \{(x,y)\mid x^2+y^2\le4,\;x\ge0\}
é a semicircunferência de raio 2 para x\ge0.

Passo 3

No plano xy, o domínio D é a metade direita do disco de raio 2. Para aproveitar a simetria, faça
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com r\in[0,2] e \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]. O jacobiano é r.

Passo 4

A integral torna-se
\iint_{D}x\,dA =\int_{\theta=-\tfrac\pi2}^{\tfrac\pi2}\!\int_{r=0}^{2}(r\cos\theta)\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{-\tfrac\pi2}^{\tfrac\pi2}\!\int_{0}^{2}r^2\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcule a parte radial:
\int_{0}^{2}r^2\,dr = \Bigl[\tfrac{r^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{8}{3}.
E a parte angular:
\int_{-\tfrac\pi2}^{\tfrac\pi2}\cos\theta\,d\theta =\bigl[\sin\theta\bigr]_{-\tfrac\pi2}^{\tfrac\pi2} =1 - (-1)=2.

Passo 6

Multiplicando os resultados:
\iint_{D}x\,dA = \tfrac{8}{3}\times2 = \tfrac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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