Calcule
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦.
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é o conjunto definido por
O conteúdo envolvido é o de integrais triplas em coordenadas cartesianas; vamos projetar
no plano
para estabelecer os limites.
Passo 2
Na projeção sobre o plano
, a condição
só faz sentido se
, isto é
Para cada
,
varia de
até
. Dado
,
varia de
até
.
Passo 3
Montamos a integral iterada em ordem
:
Passo 4
Primeiro integramos em
, tratando
e
como constantes:
Logo a integral reduz-se a
Passo 5
Agora integramos em
:
Portanto resta a integral em
:
Passo 6
Integramos termo a termo em
: