Calcule
∫∫∫𝐵 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{B} x \,dx\,dy\,dz,
onde B é o conjunto definido por
x^2 \le y \le x,\quad 0 \le z \le x+y.
O conteúdo envolvido é o de integrais triplas em coordenadas cartesianas; vamos projetar B no plano xy para estabelecer os limites.

Passo 2

Na projeção sobre o plano xy, a condição x^2\le y\le x só faz sentido se x^2\le x, isto é
x(x-1)\le0\quad\Longrightarrow\quad x\in[0,1].
Para cada x\in[0,1], y varia de x^2 até x. Dado (x,y), z varia de 0 até x+y.

Passo 3

Montamos a integral iterada em ordem dz\,dy\,dx:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^2}^{x}\int_{z=0}^{x+y} x \,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em z, tratando x e y como constantes:
\int_{0}^{x+y} x \,dz = x\,(x+y).
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x} x\,(x+y) \,dy\,dx.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{y=x^2}^{x}\bigl(x^2 + x\,y\bigr)\,dy = \Bigl[x^2\,y + x\,\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{y=x^2}^{y=x} = \frac{3}{2}x^3 - x^4 - \frac12 x^5.
Portanto resta a integral em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{3}{2}x^3 - x^4 - \tfrac12 x^5\Bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo em x:
\int_{0}^{1}\frac{3}{2}x^3\,dx - \int_{0}^{1}x^4\,dx - \int_{0}^{1}\frac12x^5\,dx = \frac{3}{8} - \frac{1}{5} - \frac{1}{12} = \frac{45 - 24 - 10}{120} = \frac{11}{120}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{120}

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