Calcule
∫∫∫𝐵(𝑦−𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 4 ≤ 𝑥+𝑦 ≤ 8, 1/𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2/𝑥, 𝑦>𝑥 e 0 ≤ 𝑧 ≤ (𝑥𝑦)(1/3)/(𝑥+𝑦)(1/2).
∫∫∫𝐵(𝑦−𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 4 ≤ 𝑥+𝑦 ≤ 8, 1/𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2/𝑥, 𝑦>𝑥 e 0 ≤ 𝑧 ≤ (𝑥𝑦)(1/3)/(𝑥+𝑦)(1/2).
Passo 1
O enunciado pede a integral
onde
é dado por
O que vamos usar é a Fubini para primeiro integrar em
, reduzindo a um duplo em
, e depois uma mudança de variáveis
para simplificar o domínio e a função integranda.
Passo 2
Integramos em
de
até
. Como o integrando não depende de
,
Logo a integral tripla vira
onde
é o domínio em
dado pelos mesmos três primeiros pares de desigualdades.
Passo 3
Para eliminar as curvas hiperbólicas
e
e a reta
, fazemos
Nesse sistema, o jacobiano (no ramo onde
) satisfaz
e nota-se que
Assim o integrando vezes o jacobiano é
Passo 4
O domínio
em
vira o retângulo
Portanto a integral fica
Passo 5
Calculemos as duas integrais separadas:
Multiplicando,