Calcule
∫∫∫𝐵(𝑦−𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 4 ≤ 𝑥+𝑦 ≤ 8, 1/𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2/𝑥, 𝑦>𝑥 e 0 ≤ 𝑧 ≤ (𝑥𝑦)(1/3)/(𝑥+𝑦)(1/2).

Passo 1

O enunciado pede a integral
\iiint_{B}(y - x)\,dx\,dy\,dz
onde B é dado por
4 \le x+y \le 8,\quad \frac1x \le y \le \frac2x,\quad y>x,\quad 0\le z\le \frac{(xy)^{1/3}}{(x+y)^{1/2}}.
O que vamos usar é a Fubini para primeiro integrar em z, reduzindo a um duplo em (x,y), e depois uma mudança de variáveis
u = x+y,\quad v = x\,y
para simplificar o domínio e a função integranda.

Passo 2

Integramos em z de 0 até \frac{(xy)^{1/3}}{(x+y)^{1/2}}. Como o integrando não depende de z,
\int_{0}^{\frac{(xy)^{1/3}}{(x+y)^{1/2}}}(y - x)\,dz =(y-x)\,\frac{(xy)^{1/3}}{(x+y)^{1/2}}.
Logo a integral tripla vira
\iint_{D}(y-x)\,\frac{(xy)^{1/3}}{(x+y)^{1/2}}\,dx\,dy,
onde D é o domínio em (x,y) dado pelos mesmos três primeiros pares de desigualdades.

Passo 3

Para eliminar as curvas hiperbólicas xy=1 e xy=2 e a reta x+y=\text{const}, fazemos
u = x+y,\quad v = xy.
Nesse sistema, o jacobiano (no ramo onde y>x) satisfaz
\bigl|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr| =\frac1{\sqrt{u^2-4v}},
e nota-se que
y-x=\sqrt{u^2-4v},\quad (xy)^{1/3}=v^{1/3},\quad (x+y)^{-1/2}=u^{-1/2}.
Assim o integrando vezes o jacobiano é
(y-x)\,v^{1/3}\,u^{-1/2}\;\times\;\frac1{\sqrt{u^2-4v}} = v^{1/3}\,u^{-1/2}.

Passo 4

O domínio D em (x,y) vira o retângulo
1\le v\le2, \quad 4\le u\le8.
Portanto a integral fica
\int_{v=1}^{2}\int_{u=4}^{8}v^{1/3}\,u^{-1/2}\,du\,dv =\Bigl(\int_{1}^{2}v^{1/3}dv\Bigr)\,\Bigl(\int_{4}^{8}u^{-1/2}du\Bigr).

Passo 5

Calculemos as duas integrais separadas:
\int_{1}^{2}v^{1/3}dv =\left[\frac{v^{4/3}}{4/3}\right]_1^2 =\frac{3}{4}\bigl(2^{4/3}-1\bigr),
\int_{4}^{8}u^{-1/2}du =\bigl[2\,u^{1/2}\bigr]_4^8 =2\bigl(\sqrt8-\sqrt4\bigr) =2\bigl(2\sqrt2-2\bigr) =4(\sqrt2-1).
Multiplicando,
\frac{3}{4}\bigl(2^{4/3}-1\bigr)\times 4(\sqrt2-1) =3\bigl(2^{4/3}-1\bigr)\,(\sqrt2-1).

Resposta

\iiint_{B}(y-x)\,dx\,dy\,dz =3\bigl(2^{4/3}-1\bigr)\,(\sqrt2-1).

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