Calcule as coordenadas do vértice C do triângulo A B C de área 12, sabendo que A=(0,-1), B é a interseção da reta r: x+y-2=0 com o eixo dos x e C in r.

Passo 1

O enunciado diz que temos o ponto A=(0,-1), a reta
r:;x+y-2=0
e que B é a interseção de r com o eixo x. O vértice C também deve pertencer a r e o triângulo ABC tem área igual a 12. Vamos usar a fórmula da área em termos de determinante para achar as possíveis coordenadas de C.

Passo 2

Para encontrar B, impomos y=0 em r:
x + 0 - 2 = 0 ;Longrightarrow; x = 2
Logo, B = (2,0).

Passo 3

Como Cin r, seus pontos satisfazem x+y-2=0. Podemos escrever
C = (xC,;2 - xC)

Passo 4

A área do triângulo ABC vale
Área = 12l|detl(AB,,ACr)r| Á
onde
AB = B - A = (2,1), AC = C - A = l(xC,;2 - xC +1r) = l(xC,;3 - xCr)
O determinante é
det = 2 & 1 [6pt] xC & 3 - xC = 2,(3 - xC) - 1cdot xC = 6 - 3xC
Portanto
12,l|6 - 3xCr| = 12 ;Longrightarrow; l|6 - 3xCr| = 24 ]

Passo 5

Resolvendo l|6 - 3xCr| = 24 temos duas situações:
1) 6 - 3xC = 24, Longrightarrow, -3 xC = 18, Longrightarrow xC = -6.
2) 6 - 3xC = -24, Longrightarrow, -3 xC = -30, Longrightarrow xC = 10.

Passo 6

Para cada solução de xC, calculamos yC = 2 - xC:
  • Se xC = -6, então yC = 2 - (-6) = 8.
  • Se xC = 10, então yC = 2 - 10 = -8.

Resposta

As possíveis coordenadas de C são
(-6,8)ou(10,-8)

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