Obtenha a equação da bissetriz interna, por B, do triângulo cujos vértices são A(6,3), B(1,1) e C(5,-4).

Passo 1

O enunciado pede a equação da bissetriz interna do ângulo em B no triângulo com vértices A(6,3), B(1,1) e C(5,-4).
Para isso vamos usar a propriedade de que a bissetriz de um ângulo do triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos comprimentos dos lados adjacentes.

Passo 2

Calculemos os comprimentos de AB e BC:
|AB| = raiz(6-1)^2 + (3-1)^2 = raiz25 + 4 = raiz29,
|BC| = raiz(5-1)^2 + (-4-1)^2 = raiz16 + 25 = raiz41

Passo 3

O ponto D onde a bissetriz atinge o lado AC divide AC na razão |AB|:|BC| = raiz29:raiz41. Pelas coordenadas do ponto em que um segmento é dividido internamente,
xD = raiz41,xA + raiz29,xCraiz41 + raiz29 = raiz41cdot 6 + raiz29cdot 5raiz41 + raiz29,
yD = raiz41,yA + raiz29,yCraiz41 + raiz29 = raiz41cdot 3 + raiz29cdot(-4)raiz41 + raiz29

Passo 4

A bissetriz é a reta que passa por B(1,1) e por D(xD,yD). Podemos usar a forma simétrica da equação a partir da inclinação ou dar a forma geral. Multiplicando para eliminar denominadores, obtemos a forma
(5raiz41+4raiz29),(y-1) ;=;(2raiz41-5raiz29),(x-1)

Resposta

(5raiz41+4raiz29),(y-1) ;=;(2raiz41-5raiz29),(x-1)

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