Calcule a derivada da função dada.
f(x)=x \ln \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\ln\sqrt{x}.
Aqui o conteúdo é derivação de produto e propriedades de logaritmo. Vamos usar que \sqrt{x}=x^{1/2} e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro simplificamos o logaritmo usando
\ln\sqrt{x}=\ln\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac12\ln x.
Logo
f(x)=x\cdot\tfrac12\ln x=\tfrac12\,x\ln x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em \tfrac12\,x\ln x. Como \tfrac12 é constante, temos
f'(x)=\tfrac12\frac{d}{dx}\bigl[x\ln x\bigr].
E pela regra do produto
\frac{d}{dx}\bigl[x\ln x\bigr]=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x +1.

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
f'(x)=\tfrac12\bigl(\ln x +1\bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{\ln x +1}{2},\quad x>0.

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