Calcule a derivada da função dada.
h(x)=\frac{e^{-x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede derivar a função h(x)=\frac{e^{-x}}{x^{2}}. O conteúdo principal aqui é derivação de um quociente, mas vamos reescrever como produto para usar a regra do produto junto com a regra da cadeia e a regra da potência.

Passo 2

Reescrevendo h(x) como produto de duas funções:
h(x)=e^{-x}\,\cdot x^{-2}.
Definimos
u(x)=e^{-x}, \quad v(x)=x^{-2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v separadamente.
Pela regra da cadeia:
u'(x)=\bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x}.
Pela regra da potência:
v'(x)=\bigl(x^{-2}\bigr)'=-2\,x^{-3}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =-e^{-x}\,x^{-2}+e^{-x}\,(-2\,x^{-3}) =-\frac{e^{-x}}{x^{2}}-\frac{2\,e^{-x}}{x^{3}}.

Passo 5

Para deixar mais elegante, fatoramos \frac{e^{-x}}{x^{3}}:
h'(x) =-\frac{e^{-x}}{x^{3}}\,(x+2).

Resposta

h'(x)=-\frac{e^{-x}}{x^{3}}(x+2).

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