Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
f(x)=\frac{1-5 x^{2}}{\sqrt[3]{3+2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1-5x^{2}}{\sqrt[3]{3+2x}}\;.
O conteúdo é derivada de quociente e, para simplificar, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=u(x)\,v(x)
onde
u(x)=1-5x^{2}, \quad v(x)=(3+2x)^{-\tfrac{1}{3}}.
Calculamos as derivadas
u'(x)=-10x, \quad v'(x)=-\tfrac{1}{3}\cdot 2\,(3+2x)^{-\tfrac{4}{3}} =-\tfrac{2}{3}(3+2x)^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =-10x\,(3+2x)^{-\tfrac{1}{3}} +(1-5x^{2})\Bigl(-\tfrac{2}{3}(3+2x)^{-\tfrac{4}{3}}\Bigr).

Passo 4

Fatoramos (3+2x)^{-\tfrac{4}{3}} e simplificamos:
-10x\,(3+2x)^{-\tfrac{1}{3}} =-10x\,(3+2x)^{-\tfrac{4}{3}}(3+2x),
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f'(x) =(3+2x)^{-\tfrac{4}{3}} \Bigl[-10x(3+2x)-\tfrac{2}{3}(1-5x^{2})\Bigr].
No colchete,
-10x(3+2x)=-30x-20x^{2}, \quad -\tfrac{2}{3}(1-5x^{2})=-\tfrac{2}{3}+\tfrac{10}{3}x^{2},
então
-30x-20x^{2}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{10}{3}x^{2} =-\tfrac{2}{3}-30x-\tfrac{50}{3}x^{2} =-\frac{50x^{2}+90x+2}{3}.

Passo 5

Substituindo de volta,
f'(x) =(3+2x)^{-\tfrac{4}{3}} \Bigl(-\frac{50x^{2}+90x+2}{3}\Bigr) =-\frac{50x^{2}+90x+2}{3\,(3+2x)^{\tfrac{4}{3}}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{50x^{2}+90x+2}{3\,(3+2x)^{\tfrac{4}{3}}}.

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