Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor especificado de x.
y=u+\frac{1}{u} ; u=5-2 x \text { para } x=0

Passo 1

O enunciado dá uma função composta onde
y = u + \tfrac{1}{u}
e
u = 5 - 2x,
e pede a derivada \frac{dy}{dx} avaliada em x=0.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia: para funções y(u(x)), vale
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y em relação a u. Temos
y = u + u^{-1},
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\frac{dy}{du} = 1 - u^{-2} = 1 - \frac{1}{u^2}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u em relação a x. Como u = 5 - 2x,
\frac{du}{dx} = -2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \Bigl(1 - \frac{1}{u^2}\Bigr)\,(-2).
Em x=0 temos u = 5 - 2\cdot0 = 5, logo
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = \Bigl(1 - \frac{1}{5^2}\Bigr)(-2) = \Bigl(1 - \frac{1}{25}\Bigr)(-2) = \frac{24}{25}\,(-2) = -\frac{48}{25}.

Resposta

-\frac{48}{25}.

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