Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor especificado de x.
y=\frac{1}{u} ; u=3-\frac{1}{x^{2}} para x=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado define a função composta
y=\frac{1}{u} com
u=3-\frac{1}{x^{2}},
e pede \frac{dy}{dx} usando a regra da cadeia, além de avaliar o resultado em x=\frac{1}{2}.

Passo 2

Primeiro identificamos as derivadas parciais:
– Para y(u)=\tfrac{1}{u},
\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u^{2}}.
– Para u(x)=3 - x^{-2}, lembrando que a derivada de x^{-2} é -2x^{-3}, temos
\frac{du}{dx} = -\bigl(-2x^{-3}\bigr) = 2\,x^{-3}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} \;=\;\Bigl(-\frac{1}{u^{2}}\Bigr)\,(2\,x^{-3}) \;=\;-\,\frac{2}{u^{2}\,x^{3}}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=\frac{1}{2}.
– Primeiro x^{3}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}=\tfrac{1}{8}.
– Em seguida
u\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) =3 - \frac{1}{(\tfrac{1}{2})^{2}} =3 - \frac{1}{\tfrac{1}{4}} =3 - 4 =-1,
logo u^{2}=1. Portanto
\frac{dy}{dx}\Bigl|_{x=\tfrac12} =-\,\frac{2}{1\cdot(\tfrac{1}{8})} =-\,2\cdot 8 =-16.

Resposta

-16

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