Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
f(x)=\left(x^{5}-4 x^{3}-7\right)^{8}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{5}-4x^{3}-7\bigr)^{8}.
O conteúdo é regra da cadeia: para f(x)=g\bigl(h(x)\bigr), temos
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna:
g(u)=u^{8}, \qquad h(x)=x^{5}-4x^{3}-7.

Passo 3

Calculamos a derivada da parte externa em função de u:
g'(u)=8\,u^{7}.

Passo 4

Calculamos a derivada da parte interna em função de x:
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}-4x^{3}-7\bigr) =5x^{4}-12x^{2} =x^{2}\bigl(5x^{2}-12\bigr).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\,\cdot\,h'(x) =8\bigl(x^{5}-4x^{3}-7\bigr)^{7}\cdot\bigl(5x^{4}-12x^{2}\bigr).
Podemos ainda fatorar x^{2} em 5x^{4}-12x^{2}:

Passo 6

Escrevendo a forma simplificada:
f'(x) =8\,x^{2}\bigl(5x^{2}-12\bigr)\bigl(x^{5}-4x^{3}-7\bigr)^{7}.

Resposta

f'(x) =8\,x^{2}\bigl(5x^{2}-12\bigr)\bigl(x^{5}-4x^{3}-7\bigr)^{7}.

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