Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx da função dada e simplifique a resposta.
y=\frac{1}{u^{2}} ; u=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função composta
y = \frac{1}{u^{2}} com
u = x^{2}+1.
O conteúdo aqui é derivada de função composta, ou seja, vamos usar a regra da cadeia
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Derivamos y em relação a u. Como y(u)=u^{-2}, temos
\frac{dy}{du} = -2\,u^{-3}.

Passo 3

Derivamos u em relação a x. Como u(x)=x^{2}+1, temos
\frac{du}{dx} = 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia e depois voltando em u=x^{2}+1, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = (-2\,u^{-3})\,(2x) = -4x\,u^{-3} = -4x\,(x^{2}+1)^{-3}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{(x^{2}+1)^{3}}

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