Determine f^prime(x) se u(x), v(x) e w(x) são funções deriváveis e:
f(x)=u(x)v(x) w(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=u(x)v(x),w(x)
onde u, v e w são diferenciáveis. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e a ideia de tratar o denominador como uma função elevada a -1.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=u(x),l[v(x),w(x)r]^-1
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),l[v(x),w(x)r]^-1+u(x),ddxl[l(v(x),w(x)r)^-1r]

Passo 3

Usamos a regra da cadeia para a função g(x)=l(v(x),w(x)r)^-1. Como g(x)=(h(x))^-1 com h(x)=v(x),w(x), temos
g'(x)=-1,(h(x))^-2,h'(x)=-h'(x)[h(x)]^2
e
h'(x)=ddxl[v(x),w(x)r]=v'(x),w(x)+v(x),w'(x)

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=u'(x),1v(x),w(x)+u(x),gl(-v'(x),w(x)+v(x),w'(x)[v(x),w(x)]^2gr)
Agrupando em único quociente, obtemos
f'(x)=u'(x),v(x),w(x)-u(x)l[v'(x),w(x)+v(x),w'(x)r][v(x),w(x)]^2

Resposta

f'(x)=u'(x),v(x),w(x)-u(x)l[v'(x),w(x)+v(x),w'(x)r]v(x)^2,w(x)^2

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