Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de abscissas dadas:
y=(4 x^3+3 x+1) ln (x), x=1

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = l(4x^3 + 3x + 1r)ln(x)
no ponto em que x=1.
O conteúdo que vamos usar é: regra do produto para derivadas e derivada de ln(x).

Passo 2

Definindo
u(x) = 4x^3 + 3x + 1, v(x) = ln(x),
pela regra do produto temos
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Como u'(x)=12x^2+3 e v'(x)=tfrac1x, obtemos
y' = l(12x^2+3r)ln(x) + l(4x^3+3x+1r)1x

Passo 3

Agora avaliamos em x=1.
Temos ln(1)=0, u(1)=4+3+1=8 e u'(1)=12+3=15.
Logo
y'(1) = 15cdot 0 + 8cdot 1 = 8
O ponto na curva é l(1,y(1)r), mas y(1)=8ln(1)=0, então o ponto é (1,0).

Passo 4

A reta tangente tem coeficiente angular mrm tan=8 passando por (1,0), ou seja
Tan>=nte: y - 0 = 8,(x-1) Longrightarrow y = 8x - 8
A reta normal tem coeficiente angular mrm norm = -tfrac18 no mesmo ponto, logo
Normal: y - 0 = -tfrac18,(x-1) Longrightarrow y = -tfrac18x + tfrac18

Resposta

Tangente: y = 8x - 8
Normal: y = -tfrac18x + tfrac18

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