Calcule os determinantes, com o auxílio da regra de Chió.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A= a & b & c[6pt] a^2 & b^2 & c^2[6pt] b+c & c+a & a+b
O conteúdo é determinantes e a ferramenta solicitada é a regra de Chi`{o}, que para uma matriz 3times3 com pivô a11neq0 permite construir uma matriz 2times2 condensada B tal que
det A = a11^,1,det B
]
Passo 2
Tomamos a11=a. Os elementos de B são, para i,j=1,2,
det B =b(b-a),(a-c)(a+b+c)a ;- ;c(c-a),(a-b)(a+b+c)a =a+b+ca,l[b(b-a)(a-c)-c(c-a)(a-b)r]
No colchete fatora-se (b-a)(a-c) e sobra (b-c), logo
det B=a+b+ca,(b-a)(a-c)(b-c)
]
Passo 4
Pela regra de Chi`{o} para 3times3 vale
det A =a11^,1,det B =a;times;a+b+ca,(b-a)(a-c)(b-c) =(a+b+c),(b-a)(a-c)(b-c)
Passo 5
Reorganizando os fatores de uma forma usual, note que
(b-a)(a-c)(b-c) =(b-a)(c-a)(c-b),
portanto uma forma simétrica do resultado é
det A=(a+b+c),(b-a),(c-a),(c-b)
Resposta
boxed(a+b+c),(b-a),(c-a),(c-b)
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 310.b