Calcule os determinantes, com o auxílio da regra de Chió.
|ccca & b & c a^2 & b^2 & c^2 b+c & c+a & a+b|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A= a & b & c[6pt] a^2 & b^2 & c^2[6pt] b+c & c+a & a+b
O conteúdo é determinantes e a ferramenta solicitada é a regra de Chi`{o}, que para uma matriz 3times3 com pivô a11neq0 permite construir uma matriz 2times2 condensada B tal que
det A = a11^,1,det B
]

Passo 2

Tomamos a11=a. Os elementos de B são, para i,j=1,2,
bij=a,a,i+1,j+1-a1,j+1,a,i+1,1a
Assim
b11=acdot b^2-bcdot a^2a=b,(b-a), b12=acdot c^2-ccdot a^2a=c,(c-a),
b21=a,(c+a)-b,(b+c)a =a^2-b^2+ac-bca =(a-b)(a+b+c)a,
b22=a,(a+b)-c,(b+c)a =a^2-c^2+ab-bca =(a-c)(a+b+c)a

Passo 3

A matriz condensada é
B= b,(b-a) & c,(c-a)[6pt] dfrac(a-b)(a+b+c)a & dfrac(a-c)(a+b+c)a
O seu determinante é
det B =b(b-a),(a-c)(a+b+c)a ;- ;c(c-a),(a-b)(a+b+c)a =a+b+ca,l[b(b-a)(a-c)-c(c-a)(a-b)r]
No colchete fatora-se (b-a)(a-c) e sobra (b-c), logo
det B=a+b+ca,(b-a)(a-c)(b-c)
]

Passo 4

Pela regra de Chi`{o} para 3times3 vale
det A =a11^,1,det B =a;times;a+b+ca,(b-a)(a-c)(b-c) =(a+b+c),(b-a)(a-c)(b-c)

Passo 5

Reorganizando os fatores de uma forma usual, note que
(b-a)(a-c)(b-c) =(b-a)(c-a)(c-b),
portanto uma forma simétrica do resultado é
det A=(a+b+c),(b-a),(c-a),(c-b)

Resposta

boxed(a+b+c),(b-a),(c-a),(c-b)

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