Quais as condições necessárias e suficientes para que um determinante se anule?
Passo 1
O enunciado pede as condições necessárias e suficientes para que o determinante de uma matriz quadrada
seja zero. O tema é Álgebra Linear, e vamos usar conceitos de dependência linear, posto de matriz, invertibilidade e valores próprios.
Passo 2
Mostramos a equivalência entre
e dependência linear de colunas (ou linhas). Geometricamente,
é o volume orientado do paralelogramo – se as colunas são linearmente dependentes, esse volume colapsa e
Passo 3
Usamos a propriedade de invertibilidade: uma matriz
é inversível (não singular) se, e somente se,
. Logo,
Passo 4
Pelo Teorema do Posto,
é inversível
. Assim,
Passo 5
Conectamos com sistemas lineares:
significa que o sistema homogêneo
admite solução não-trivial
. Portanto,
Passo 6
Finalmente, relacionamos valores próprios: os autovalores
de
satisfazem
. Em particular,
é valor próprio de
exatamente quando
.
Resposta
As condições necessárias e suficientes para que
são equivalentes a qualquer uma das afirmações abaixo:
- As colunas (ou linhas) de
são linearmente dependentes. -
. - O sistema homogêneo
possui solução não-trivial . -
não é inversível (é singular). -
é valor próprio de .