Quais as condições necessárias e suficientes para que um determinante se anule?

Passo 1

O enunciado pede as condições necessárias e suficientes para que o determinante de uma matriz quadrada AinK^ntimes n seja zero. O tema é Álgebra Linear, e vamos usar conceitos de dependência linear, posto de matriz, invertibilidade e valores próprios.

Passo 2

Mostramos a equivalência entre det(A)=0 e dependência linear de colunas (ou linhas). Geometricamente, det(A) é o volume orientado do paralelogramo – se as colunas são linearmente dependentes, esse volume colapsa e
det(A)=0

Passo 3

Usamos a propriedade de invertibilidade: uma matriz A é inversível (não singular) se, e somente se, det(A)neq0. Logo,
det(A)=0 Long<=ftrightarrow A não é inversível (é singular) ãéíé

Passo 4

Pelo Teorema do Posto, A é inversível Long<=ftrightarrowrank(A)=n. Assim,
det(A)=0 Long<=ftrightarrow rank(A)<n

Passo 5

Conectamos com sistemas lineares: rank(A)<n significa que o sistema homogêneo
A,x=0
admite solução não-trivial xneq0. Portanto,
det(A)=0 Long<=ftrightarrow exists,xneq0:;A,x=0

Passo 6

Finalmente, relacionamos valores próprios: os autovalores lambda de A satisfazem det(A-lambda I)=0. Em particular, lambda=0 é valor próprio de A exatamente quando det(A)=0.

Resposta

As condições necessárias e suficientes para que det(A)=0 são equivalentes a qualquer uma das afirmações abaixo:
  • As colunas (ou linhas) de A são linearmente dependentes.
  • rank(A)<n.
  • O sistema homogêneo A,x=0 possui solução não-trivial xneq0.
  • A não é inversível (é singular).
  • 0 é valor próprio de A.

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