Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Passo 1
O enunciado dá a relação implicita entre
e
:
e pede para encontrarmos
de duas formas:
(a) por derivação implícita;
(b) resolvendo para explicitamente e depois derivando.
O conteúdo aqui é diferenciação de funções implícitas e diferenciação de funções explícitas.
(a) por derivação implícita;
(b) resolvendo para
O conteúdo aqui é diferenciação de funções implícitas e diferenciação de funções explícitas.
Passo 2
Derivação implícita: aplicamos
em ambos os lados de
- A derivada de
é . - A derivada de
é (regra da cadeia). - A derivada de
é .
Logo,
Isolando
:
Passo 3
Expressão explícita de
: da equação original,
Agora derivamos essa função explícita:
Passo 4
Comparação das duas formas:
- Pela derivação implícita obtivemos
. - Pela forma explícita achamos
.
Mas como
, então
logo ambas as expressões de
são iguais.