Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
x+\frac{1}{y}=5

Passo 1

O enunciado dá a relação implicita entre x e y:
x + \frac{1}{y} = 5
e pede para encontrarmos \frac{dy}{dx} de duas formas:
(a) por derivação implícita;
(b) resolvendo para y explicitamente e depois derivando.
O conteúdo aqui é diferenciação de funções implícitas e diferenciação de funções explícitas.

Passo 2

Derivação implícita: aplicamos \frac{d}{dx} em ambos os lados de
x + y^{-1} = 5.
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada de y^{-1} é -1\cdot y^{-2}\cdot\frac{dy}{dx} (regra da cadeia).
  • A derivada de 5 é 0.
    Logo,
1 - y^{-2}\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \frac{dy}{dx}:
y^{-2}\frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = y^2.

Passo 3

Expressão explícita de y: da equação original,
\frac{1}{y} = 5 - x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{5 - x}.
Agora derivamos essa função explícita:
y = (5 - x)^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -1\cdot(5 - x)^{-2}\cdot(-1) = (5 - x)^{-2} = \frac{1}{(5 - x)^2}.

Passo 4

Comparação das duas formas:
  • Pela derivação implícita obtivemos \frac{dy}{dx} = y^2.
  • Pela forma explícita achamos \frac{dy}{dx} = \frac{1}{(5 - x)^2}.
Mas como y = \frac{1}{5 - x}, então
y^2 = \frac{1}{(5 - x)^2},
logo ambas as expressões de \frac{dy}{dx} são iguais.

Resposta

\frac{dy}{dx} = y^2 = \frac{1}{(5 - x)^2}.

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