Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
x y=4

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\,y = 4
e pede \tfrac{dy}{dx} de duas formas: (a) por derivação implícita e (b) derivando a expressão explícita de y. Vamos usar a regra do produto e, depois, a derivada de potência.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x temos
\frac{d}{dx}(x\,y)=\frac{d}{dx}(4)
Aplicando a regra do produto em x\,y:
1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx} = 0
Logo
y + x\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{y}{x}.

Passo 3

Isolando y em função de x da relação original:
y = \frac{4}{x}.
Agora derivamos explicitamente usando a regra da potência ( x^{-1}):
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(4\,x^{-1}\Bigr) =4\cdot(-1)\,x^{-2} =-\frac{4}{x^2}.

Passo 4

Para ver que ambos concordam, substituímos y=\tfrac{4}{x} em y'=-\tfrac{y}{x}:
y' = -\frac{1}{x}\,\bigl(\tfrac{4}{x}\bigr) =-\frac{4}{x^2},
que coincide com o resultado da derivada explícita.

Resposta

Por derivação implícita:
y' = -\frac{y}{x}.
Por derivação explícita de y=4/x:
y' = -\frac{4}{x^2}.
Como y=4/x, ambos dão -4/x^2.

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