Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} \rho^{3} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \varphi d \theta

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular a integral tripla
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}\rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Este é um caso em que as variáveis separam, pois o integrando é produto de funções de \rho, \varphi e \theta.

Passo 2

Calcular o integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho =\left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{2^{4}}{4} =4.

Passo 3

Calcular o integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} =-\cos\pi+\cos0 =2.

Passo 4

Calcular o integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi.

Passo 5

Multiplicando os resultados parciais:
4\times 2\times 2\pi =16\pi.

Resposta

16\pi

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