Calcule o limite de tanh x com x +infty.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftytanh x
Este problema envolve limites de funções hiperbólicas. Para resolver, vamos usar a definição de tanh x em termos de exponenciais e, em seguida, analisar o comportamento assintótico quando x tende a +infty.

Passo 2

Recordando a definição de tanh x:
tanh x = e^x - e^-xe^x + e^-x
Para facilitar a análise do limite, fatoramos e^x no numerador e no denominador:
tanh x = e^xl(1 - e^-2xr)e^xl(1 + e^-2xr) = 1 - e^-2x1 + e^-2x

Passo 3

Agora, observe que quando xto+infty, temos e^-2xto0. Substituindo esse comportamento na expressão acima, obtemos
limxto+inftytanh x = limxto+infty1 - e^-2x1 + e^-2x = 1 - 01 + 0 = 1

Resposta

1

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