Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base mede
e que a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da base.
Passo 1
O enunciado descreve uma pirâmide quadrangular regular com base quadrada de área
e cuja altura
é igual a uma das diagonais da base. O que precisamos é calcular a área lateral dessa pirâmide. Vamos usar fórmulas de geometria de pirâmides regulares: obter o lado do quadrado, a altura
, o comprimento da aresta inclinada (altura geratriz)
e, por fim, a área lateral.
Passo 2
Como a área da base é da forma
temos
onde
é o comprimento de cada aresta do quadrado da base.
Passo 3
A diagonal da base de um quadrado de lado
vale
Pelo enunciado, a altura da pirâmide é igual a essa diagonal, ou seja,
Passo 4
Em pirâmide quadrangular regular, cada face lateral é um triângulo isósceles com base
e altura geratriz
. Essa altura geratriz satisfaz
Passo 5
A área lateral de uma pirâmide regular é dada por
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
A área lateral da pirâmide mede
.