Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base mede 64 m^2 e que a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da base.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide quadrangular regular com base quadrada de área 64 m^2 e cuja altura h é igual a uma das diagonais da base. O que precisamos é calcular a área lateral dessa pirâmide. Vamos usar fórmulas de geometria de pirâmides regulares: obter o lado do quadrado, a altura h, o comprimento da aresta inclinada (altura geratriz) l e, por fim, a área lateral.

Passo 2

Como a área da base é da forma
áreabase = a^2 = 64, á
temos
a = raiz64 = 8 m,
onde a é o comprimento de cada aresta do quadrado da base.

Passo 3

A diagonal da base de um quadrado de lado a vale
d = araiz2 = 8raiz2 m
Pelo enunciado, a altura da pirâmide é igual a essa diagonal, ou seja,
h = 8raiz2 m

Passo 4

Em pirâmide quadrangular regular, cada face lateral é um triângulo isósceles com base a e altura geratriz l. Essa altura geratriz satisfaz
l = raizh^2 + l(tfraca2r)^2 = raiz(8raiz2)^2 + 4^2 = raiz128 + 16 = raiz144 = 12 m

Passo 5

A área lateral de uma pirâmide regular é dada por
árealateral = perímetro da basetimes l2 = (4a),l2 = 2a,l áí
Substituindo a=8 e l=12, obtemos
árealateral = 2 cdot 8 cdot 12 = 192 m^2 á

Resposta

A área lateral da pirâmide mede 192 m^2.

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