Prove que a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide de n faces laterais vale S=(n-1) cdot 4 r.

Passo 1

O enunciado fala de uma pirâmide que tem n faces laterais triangulares e uma face base que é um polígono de n lados. Queremos a soma S de todos os ângulos internos de todas as faces (as n laterais + a base).
Conteúdo que vamos usar:
1. Em um triângulo, a soma dos ângulos internos é 180^circ, ou seja, 2r (onde r representa um ângulo reto de 90^circ).
2. Em um polígono convexo de m lados, a soma dos ângulos internos é (m-2),180^circ, isto é, (m-2),2r.

Passo 2

Cada face lateral é um triângulo. Logo, a soma dos ângulos internos de uma face lateral é
2r
Como há n faces laterais, a soma de todos os ângulos internos dessas faces é
n times 2r ;=; 2n,r

Passo 3

A face base é um polígono de n lados. Portanto, a soma dos ângulos internos dessa base vale
(n-2),2r ;=; 2(n-2),r

Passo 4

Somando todas as faces (as n laterais + a base), temos
S = underbrace2n,rlateral ;+;underbrace2(n-2),rbase = 2n,r + 2n,r - 4r = (4n - 4),r = (n-1),4r

Resposta

S = (n-1),4r

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