Calcule o número complexo:
z=(i1+i)^5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo
z = gl(i1+igr)^5
O conteúdo é simplificar uma fração de números complexos e depois usar a fórmula de De Moivre para elevar ao quinto.

Passo 2

Primeiro simplificamos a fração i1+i racionalizando o denominador. Multiplicamos numerador e denominador por 1-i:
i1+i = i(1 - i)(1+i)(1-i) = i - i^21 - i^2 = i + 11 - (-1) = 1 + i2

Passo 3

Agora escrevemos 1+i2 na forma re^itheta. Primeiro o módulo:
r = l|,tfrac1+i2r| = raiz1^2 + 1^22 = raiz22 = 1raiz2
Depois o argumento, como a parte real e imaginária são iguais e positivas:
theta = argl(tfrac1+i2r) = pi4
Logo
i1+i = 1+i2 = 1raiz2,e^ipi/4

Passo 4

Aplicamos De Moivre para elevar à quinta potência:
l(tfrac1raiz2,e^ipi/4r)^5 = l(tfrac1raiz2r)^5,e^i,5pi/4 = 12^5/2,e^i,5pi/4 = 14raiz2,e^i,5pi/4

Passo 5

Finalmente, voltamos à forma a+bi. Sabemos que
e^i,5pi/4 = cos!l(tfrac5pi4r) + isin!l(tfrac5pi4r) = -raiz22 - i,raiz22
Multiplicando por tfrac14raiz2:
z = 14raiz2l(-raiz22 - i,raiz22r) = -18 - i,18

Resposta

z = -18 - i8

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