Nos Exercs. 13 a 18, reduza os números z1 e z2 à forma polar e determine as formas polares de z1 z2 e z1 / z2. Represente esses quatro números num gráfico.
z1=1-i, z2=-1+2 i.

Passo 1

O enunciado pede para converter z1=1-i e z2=-1+2i para a forma polar, depois usar as propriedades de multiplicação e divisão na forma polar para obter as formas polares de z1z2 e de tfracz1z2, e por fim representar os quatro pontos no plano.

Passo 2

Calcular a forma polar de z1=1-i. O módulo é
r1=raiz1^2+(-1)^2=raiz2,
e o argumento é
theta1=arctan!l(tfrac-11r)=-tfracpi4
Logo
z1=raiz2,l(cos(-tfracpi4)+isin(-tfracpi4)r)

Passo 3

Calcular a forma polar de z2=-1+2i. O módulo é
r2=raiz(-1)^2+2^2=raiz5,
e o argumento, como o ponto (-1,2) está no 2.º quadrante, é
theta2=pi - arctan!l(tfrac21r) =pi - arctan(2)
Assim
z2=raiz5,l(cos(pi-arctan(2))+isin(pi-arctan(2))r)

Passo 4

Para o produto z1z2 multiplicamos módulos e somamos argumentos:
r12=r1r2=raiz2,raiz5=raiz10, theta12=theta1+theta2 =-tfracpi4+l(pi-arctan(2)r) = tfrac3pi4-arctan(2)
Logo
z1z2 =raiz10,l(cosl(tfrac3pi4-arctan(2)r) +isinl(tfrac3pi4-arctan(2)r)r)

Passo 5

Para a divisão tfracz1z2 dividimos módulos e subtraímos argumentos:
r1/2=r1r2=raiz25, theta1/2=theta1-theta2 =-tfracpi4-l(pi-arctan(2)r) =-tfrac5pi4+arctan(2)
Portanto
z1z2 =raiz25 ,l(cosl(-tfrac5pi4+arctan(2)r) +isinl(-tfrac5pi4+arctan(2)r)r)

Passo 6

Para desenhar no plano cartesiano, use as coordenadas retangulares:
z1=(1,-1), z2=(-1,2), z1z2=(1,3), z1z2=l(-tfrac35,-tfrac15r)

Resposta

z1=raiz2,l(cos(-tfracpi4)+isin(-tfracpi4)r),
z2=raiz5,l(cos(pi-arctan(2))+isin(pi-arctan(2))r),
z1z2 =raiz10,l(cosl(tfrac3pi4-arctan(2)r) +isinl(tfrac3pi4-arctan(2)r)r),
z1z2 =raiz25 ,l(cosl(-tfrac5pi4+arctan(2)r) +isinl(-tfrac5pi4+arctan(2)r)r)
No gráfico, marque os pontos (1,-1), (-1,2), (1,3) e l(-tfrac35,-tfrac15r).

Exercícios de Livros Relacionados