Nos Exercs. 13 a 18, reduza os números z1 e z2 à forma polar e determine as formas polares de z1 z2 e z1 / z2. Represente esses quatro números num gráfico.
z1=1+i, z2=raiz3+i.

Passo 1

O enunciado pede para convertermos os complexos z1=1+i e z2=raiz3+i para a forma polar (modulo e argumento), depois usarmos as regras de multiplicação e divisão em forma polar para obter z1z2 e z1/z2. Por fim, devemos representar graficamente os quatro números no plano complexo. Vamos usar:
– Para converter um complexo x+iy em polar: r=raizx^2+y^2 e theta=arg(x+iy)=arctanl(y/xr), ajustando o quadrante.
– Para o produto: módulos multiplicam e argumentos somam.
– Para a razão: módulo do numerador sobre o do denominador e argumento do numerador menos o do denominador.

Passo 2

Calcular a forma polar de z1=1+i.
O módulo é
r1=raiz1^2+1^2=raiz2,
o argumento em radianos (no primeiro quadrante) é
theta1=arctan!l(11r)=pi4
Logo
z1=raiz2,l(cospi4+isinpi4r)

Passo 3

Calcular a forma polar de z2=raiz3+i.
O módulo é
r2=raiz(raiz3)^2+1^2=raiz3+1=2,
o argumento no primeiro quadrante é
theta2=arctan!l(1raiz3r)=pi6
Logo
z2=2,l(cospi6+isinpi6r)

Passo 4

Calcular a forma polar de z1z2.
Pelos módulos e argumentos:
r12=r1r2=raiz2times 2=2raiz2,
theta12=theta1+theta2=pi4+pi6=3pi+2pi12=5pi12
Portanto
z1z2=2raiz2,l(cos5pi12+isin5pi12r)

Passo 5

Calcular a forma polar de z1z2.
Pelos módulos e argumentos:
rdiv=r1r2=raiz22=1raiz2,
thetadiv=theta1-theta2=pi4-pi6=3pi-2pi12=pi12
Logo
z1z2=1raiz2,l(cospi12+isinpi12r)

Passo 6

Representação gráfica no plano de Argand:
z1 é o vetor de módulo raiz2 e ângulo pi/4, que chega ao ponto (1,1).
z2 é o vetor de módulo 2 e ângulo pi/6, que chega ao ponto (raiz3,1).
z1z2 tem módulo 2raiz2 e ângulo 5pi/12approx75^circ, vai até aproximadamente (0,732,2,732).
z1z2 tem módulo 1/raiz2 e ângulo pi/12approx15^circ, vai até aproximadamente (0,683,0,183).
No gráfico, basta desenhar os quatro vetores a partir da origem com essas coordenadas ou usando seus comprimentos e direções.

Resposta

z1=raiz2,l(costfracpi4+isintfracpi4r), z2=2,l(costfracpi6+isintfracpi6r),
z1z2=2raiz2,l(costfrac5pi12+isintfrac5pi12r), z1z2=1raiz2,l(costfracpi12+isintfracpi12r)

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