Calcule o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares de um poliedro com 20 arestas e 10 vértices.
Passo 1
O enunciado dá um poliedro convexo com vértices, arestas, e afirma que todas as faces são triângulos ou quadriláteros. Queremos achar o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares . Vamos usar a Fórmula de Euler para poliedros e a relação entre arestas e lados das faces.
Passo 2
Pela Fórmula de Euler para poliedros convexos, temos
onde é o número total de faces. Substituindo e ,
Portanto
Passo 3
Cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular com 4 arestas, mas como cada aresta incide em duas faces, a soma dos lados de todas as faces é . Isso gera a equação
Passo 4
Resolvendo o sistema
podemos, por exemplo, isolar F4=12 - F3 na primeira equação e substituir na segunda:
3F3 + 4(12 - F3) = 40
3F3 + 48 - 4F3 = 40
-,F3 = -8
F3 = 8,
e daí
F4 = 12 - 8 = 4
Resposta
Número de faces triangulares: 8
Número de faces quadrangulares: 4
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 186