Calcule o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares de um poliedro com 20 arestas e 10 vértices.

Passo 1

O enunciado dá um poliedro convexo com V=10 vértices, E=20 arestas, e afirma que todas as faces são triângulos ou quadriláteros. Queremos achar o número de faces triangulares F3 e o número de faces quadrangulares F4. Vamos usar a Fórmula de Euler para poliedros e a relação entre arestas e lados das faces.

Passo 2

Pela Fórmula de Euler para poliedros convexos, temos
V - E + F = 2,
onde F é o número total de faces. Substituindo V=10 e E=20,
10 - 20 + F = 2
F = 12
Portanto
F3 + F4 = 12

Passo 3

Cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular com 4 arestas, mas como cada aresta incide em duas faces, a soma dos lados de todas as faces é 2E. Isso gera a equação
3F3 + 4F4 = 2E = 40

Passo 4

Resolvendo o sistema
F3 + F4 = 12, 3F3 + 4F4 = 40,
podemos, por exemplo, isolar F4=12 - F3 na primeira equação e substituir na segunda:
3F3 + 4(12 - F3) = 40
3F3 + 48 - 4F3 = 40
-,F3 = -8
F3 = 8,
e daí
F4 = 12 - 8 = 4

Resposta

Número de faces triangulares: 8
Número de faces quadrangulares: 4

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