Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número, de faces quadrangulares é igual a 5.
Passo 1
O enunciado descreve um poliedro convexo com faces triangulares e quadrangulares. Denotemos por
o número de faces triangulares e por
o número de faces quadrangulares. Foi dado que
e que o número de arestas
vale o quádruplo de
, isto é,
Queremos achar o número total de faces
Para isso vamos usar a relação entre arestas e faces (cada aresta pertence a duas faces) e, se necessário, a fórmula de Euler.
Passo 2
Cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular com 4 arestas, mas como cada aresta é contada em duas faces, temos
Substituindo
e
nessa relação, fica
Passo 3
Resolvendo para
:
Passo 4
Com
e
, o número total de faces é
Resposta
O poliedro tem
faces.