Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número, de faces quadrangulares é igual a 5.

Passo 1

O enunciado descreve um poliedro convexo com faces triangulares e quadrangulares. Denotemos por T o número de faces triangulares e por Q o número de faces quadrangulares. Foi dado que
Q = 5
e que o número de arestas E vale o quádruplo de T, isto é,
E = 4T
Queremos achar o número total de faces
F = T + Q
Para isso vamos usar a relação entre arestas e faces (cada aresta pertence a duas faces) e, se necessário, a fórmula de Euler.

Passo 2

Cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular com 4 arestas, mas como cada aresta é contada em duas faces, temos
3T + 4Q = 2E
Substituindo E = 4T e Q = 5 nessa relação, fica
3T + 4cdot5 = 2cdot(4T)

Passo 3

Resolvendo para T:
3T + 20 = 8T Longrightarrow 20 = 5T Longrightarrow T = 4

Passo 4

Com T = 4 e Q = 5, o número total de faces é
F = T + Q = 4 + 5 = 9

Resposta

O poliedro tem 9 faces.

Exercícios de Livros Relacionados