Calcule y^prime prime(x) se:
y^2=x^3(2-x)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^2 = x^3(2 - x),
pede a segunda derivada y''(x).
O conteúdo necessário é: derivação implícita, regra do produto e regra do quociente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl(y^2r) = ddxl(x^3(2 - x)r)
Pela regra da cadeia e do produto:
2y,y' = x^3cdot(-1) + (2 - x)cdot 3x^2 = -x^3 + 3x^2(2 - x) = -x^3 + 6x^2 - 3x^3 = 6x^2 - 4x^3
Logo,
y' = 6x^2 - 4x^32y = x^2(3 - 2x)y

Passo 3

Para obter y'', aplicamos a regra do quociente a
y' = uv, u(x) = x^2(3 - 2x), v(x) = y
Calculamos
u' = 6x - 6x^2, v' = y',
e
y'' = u'v - u,v'v^2 = (6x - 6x^2)y - x^2(3 - 2x),y'y^2

Passo 4

Substituímos y' = tfracx^2(3 - 2x)y e simplificamos:
y'' = (6x - 6x^2)y - (3x^2 - 2x^3)3x^2 - 2x^3yy^2 = 6x(1 - x)y^2 - (3x^2 - 2x^3)^2y^3
Como y^2 = x^3(2 - x), temos y^3 = ycdot x^3(2 - x).
Compute-se o numerador:
6x(1 - x)x^3(2 - x) - x^4(3 - 2x)^2 = x^4l(2x^2 - 6x + 3r)
Logo
y'' = x^4(2x^2 - 6x + 3)y^3 = x,(2x^2 - 6x + 3)(2 - x),y

Resposta

y'(x) = x^2(3 - 2x)y, y''(x) = x^4(2x^2 - 6x + 3)y^3 l(ou;tfracx,(2x^2 - 6x + 3)(2 - x),yr)

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