Calcule os seguintes limites:
lim x 1 x^3+3 e^1-x-4x-ln x-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular
limxto1x^3+3e^1-x-4,x-ln x-1,
Vemos que ao substituir x=1 tanto o numerador quanto o denominador dão 0, então é uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a regra de l’Hôpital (duas vezes, se necessário).

Passo 2

Verificando a indeterminação:
limxto1l(x^3+3e^1-x-4r) =1^3+3e^0-4=1+3-4=0,
limxto1l(x-ln x-1r) =1-0-1=0.
Confirma-se 0/0.

Passo 3

Aplicamos l’Hôpital a primeira derivada. Definindo
f(x)=x^3+3e^1-x e g(x)=x-ln x-1,
temos
f'(x)=3x^2-3e^1-x, g'(x)=1-1x
Então
limxto1f(x)g(x) =limxto13x^2-3e^1-x1-tfrac1x,
que ainda dá 0/0 pois em x=1 f'(1)=3-3=0 e g'(1)=1-1=0.

Passo 4

Como permanece 0/0, aplicamos l’Hôpital mais uma vez, calculando as segundas derivadas:
f''(x)=6x+3e^1-x, g''(x)=ddxl(1-tfrac1xr)=1x^2
Logo,
limxto1f(x)g(x) =limxto1f''(x)g''(x) =limxto16x+3e^1-xtfrac1x^2 =limxto1x^2l(6x+3e^1-xr)

Passo 5

Basta agora substituir x=1 na expressão acima:
1^2l(6cdot1+3e^0r) =6+3=9

Resposta

9

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