Calcule os seguintes limites:
lim x 0 sen^2 x+2 cos x-2cos ^2 x-x sen x-1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0sin^2 x + 2cos x - 2cos^2 x - xsin x - 1
O conteúdo é limite de forma indeterminada 0/0. Podemos usar expansão em série de Taylor em torno de x=0 (até a ordem necessária) para numerador e denominador.

Passo 2

Verifiquemos rapidamente a forma indeterminada. Quando xto0, temos
sin xapprox0 e cos xapprox1, logo
sin^2 x + 2cos x - 2approx0 + 2cdot1 -2=0 e
cos^2 x - xsin x -1approx1 -0 -1=0.
É 0/0, perfeito para Taylor.

Passo 3

Expandimos o numerador até ordem x^4. Sabemos
sin x = x - x^36 + O(x^5), cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)
Então
sin^2 x = l(x - x^36r)^2 + O(x^6) = x^2 - x^43 + O(x^6),
e
2cos x - 2 = 2l(1 - x^22 + x^424r) - 2 = -x^2 + x^412 + O(x^6)
Somando, o numerador vira
sin^2 x + 2cos x -2 = l(x^2 - tfracx^43r) + l(-x^2 + tfracx^412r) + O(x^6) = -x^44 + O(x^6)

Passo 4

Agora expandimos o denominador até ordem x^4. Primeiro
cos^2 x = l(1 - x^22 + x^424r)^2 + O(x^6) = 1 - x^2 + x^43 + O(x^6)
E
xsin x = xl(x - x^36r) + O(x^6) = x^2 - x^46 + O(x^6)
Logo
cos^2 x - xsin x -1 = l(1 - x^2 + tfracx^43r) - l(x^2 - tfracx^46r) -1 = -2x^2 + x^42 + O(x^6)

Passo 5

O quociente fica
-tfracx^44 + O(x^6)-2x^2 + tfracx^42 + O(x^6) = -tfracx^44-2x^2l(1+O(x^2)r) = x^28l(1+O(x^2)r)
Quando xto0, isso tende a 0.

Resposta

0

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