Calcule os seguintes limites:
lim x 16+ raiz[4]x-16raiz[4]x-2.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto16^+raiz[4]x-16raiz[4]x-2
O conteúdo principal é manipular limites com radicais, usando mudança de variável e fatoração.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
t = raiz[4]x,
de modo que x = t^4. Quando xto16^+, temos tto2^+. A expressão original passa a ser
raiz[4]x-16raiz[4]x-2 = raiz[4]t^4-16t-2

Passo 3

Fatoramos o polinômio t^4-16:
t^4-16 = (t-2)(t+2)(t^2+4)
Logo
raiz[4]t^4-16 = raiz[4](t-2)(t+2)(t^2+4) = (t-2)^tfrac14,(t+2)^tfrac14,(t^2+4)^tfrac14,
e a fração fica
(t-2)^tfrac14(t+2)^tfrac14(t^2+4)^tfrac14t-2 = (t-2)^-tfrac34,(t+2)^tfrac14,(t^2+4)^tfrac14

Passo 4

Ao levar tto2^+, o produto
(t+2)^tfrac14,(t^2+4)^tfrac14 longrightarrow (4cdot8)^tfrac14 =32^tfrac14neq0,
enquanto
(t-2)^-tfrac34longrightarrow +infty
Portanto a expressão diverge para +infty.

Resposta

+infty

Exercícios de Livros Relacionados