Calcule os seguintes limites:
lim x 0 e^x+e^-x-21-cos 4 x.

Passo 1

O enunciado pede
limxto0e^x+e^-x-21-cos(4x)
O conteúdo é cálculo de limites usando expansão em série de Taylor em torno de x=0, até capturar os termos de ordem x^2 (e eventualmente x^4) no numerador e denominador.

Passo 2

Expandimos e^x e e^-x até a ordem x^4:
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + O(x^5),
e^-x = 1 - x + x^22 - x^36 + x^424 + O(x^5)
Somando e subtraindo 2, obtemos
e^x + e^-x - 2 = l(1+1-2r) + l(x - xr) + l(tfracx^22+tfracx^22r) + l(tfracx^424+tfracx^424r)+O(x^5) = x^2 + x^412 + O(x^5)

Passo 3

Expandimos cos(4x) até a ordem x^4:
cos(4x) = 1 - (4x)^22 + (4x)^424 + O(x^6) = 1 - 8x^2 + 323x^4 + O(x^6)
Logo,
1 - cos(4x) = 8x^2 - 323x^4 + O(x^6)

Passo 4

Formamos a razão usando as expansões:
e^x+e^-x-21-cos(4x) = x^2l(1 + tfracx^212 + O(x^4)r)x^2l(8 - tfrac323x^2 + O(x^4)r) = 1 + tfracx^212 + O(x^4)8 - tfrac323x^2 + O(x^4)
Ao levar xto0, todos os termos de ordem superior desaparecem.

Resposta

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