Calcule os seguintes limites:
(c) lim n infty(1+1n)^3 n;

Passo 1

O enunciado pede calcular
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^3n
O conteúdo aqui é limite de sequência do tipo exponencial, e vamos usar o fato clássico de que
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e,
além da propriedade de que, se anto L e f é contínua em L, então f(an)to f(L).

Passo 2

Reescrevemos a expressão aproveitando a potência:
l(1+tfrac1nr)^3n = l[l(1+tfrac1nr)^nr]^3
Como sabemos que
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e,
o termo interno converge para e.

Passo 3

A função f(x)=x^3 é contínua em todo R, logo podemos passar o limite para dentro do cubo:
limntoinfty l[l(1+tfrac1nr)^nr]^3 = l(limntoinfty(1+tfrac1n)^nr)^3 = e^3

Resposta

e^3

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