Calcule os seguintes limites:
lim x infty 2 x^3-x^2+7 x-32-x+5 x^2-4 x^3.

Passo 1

Nesse exercício temos um limite de uma função racional quando xtoinfty. Precisamos usar o fato de que, para funções racionais, o comportamento no infinito é determinado pelos termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Observamos que o polinômio no numerador 2x^3 - x^2 + 7x - 3 é de grau 3 e o do denominador 2 - x + 5x^2 - 4x^3 também é de grau 3. Os coeficientes dos termos de grau mais alto são, respectivamente, 2 no numerador e -4 no denominador.

Passo 3

Para deixar explícito o limite, fatoramos x^3 em ambos:
2x^3 - x^2 + 7x - 32 - x + 5x^2 - 4x^3 = x^3l(2 - tfrac1x + tfrac7x^2 - tfrac3x^3r) x^3l(-4 + tfrac5x - tfrac1x^2 + tfrac2x^3r)
Cancelando x^3 fica o quociente dos parênteses.

Passo 4

Ao fazermos xtoinfty, todos os termos tfrac1x, tfrac1x^2, tfrac1x^3 tendem a zero. Logo o limite é simplesmente
2-4 = -12

Resposta

-tfrac12

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