Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x-sen x1-cos x.

Passo 1

O enunciado pede
L=limxto0x-sin x1-cos x
Observamos que, ao substituir x=0, tanto o numerador x-sin x quanto o denominador 1-cos x vão a zero, gerando a forma indeterminada tfrac00. Vamos usar a regra de l’Hôpital, que permite derivar numerador e denominador até eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Como temos indeterminação tfrac00, aplicamos l’Hôpital pela primeira vez, derivando numerador e denominador em relação a x:
limxto0x-sin x1-cos x =limxto0(x-sin x)'(1-cos x)' =limxto01-cos xsin x
Note que para xto0 ainda temos 1-cos xto0 e sin xto0, ou seja, continuamos com tfrac00.

Passo 3

Aplicamos l’Hôpital pela segunda vez: derivamos novamente numerador e denominador:
limxto01-cos xsin x =limxto0(1-cos x)'(sin x)' =limxto0sin xcos x

Passo 4

Reconhecemos sin x/cos x=tan x e, ao xto0,
limxto0tan x=0

Resposta

0

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