Calcule a soma de cada uma das seguintes séries
12+x^2+1(2+x^2)^2+1(2+x^2)^3+cdots.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
12+x^2+1(2+x^2)^2+1(2+x^2)^3+cdots
Esse tipo de série é uma série geométrica, cujo conteúdo-chave é a fórmula de soma
sumn=1^inftyr^n=r1-r,para |r|<1

Passo 2

Reconhecemos que cada termo pode ser escrito como
r^n
com
r=12+x^2
pois então o primeiro termo é r, o segundo é r^2 e assim por diante.

Passo 3

Verificamos a condição de convergência |r| < 1. Aqui
r=12+x^2
e como 2+x^2>=2>1, temos imediatamente |r|<1. Logo a série converge.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da soma da série geométrica:
S=sumn=1^inftyr^n=r1-r=12+x^21-12+x^2
Agora simplificamos o denominador:
1-12+x^2 =2+x^2-12+x^2 =1+x^22+x^2
Portanto
S =12+x^21+x^22+x^2 =11+x^2

Resposta

11+x^2

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