Calcule, usando o teorema de Euler:
7^1000 equiv ?(bmod 54)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
7^1000bmod54
usando o Teorema de Euler. Vamos precisar verificar que gcd(7,54)=1, calcular varphi(54), reduzir o expoente módulo varphi(54) e, por fim, computar a potência restante por reduções sucessivas.

Passo 2

Verificamos a coprimalidade e calculamos varphi(54). Como
54=2cdot3^3,
temos
varphi(54)=54l(1-tfrac12r)l(1-tfrac13r) =54cdottfrac12cdottfrac23=18
Como gcd(7,54)=1, vale o Teorema de Euler:
7^18equiv1pmod54

Passo 3

Reduzimos o expoente 1000 módulo varphi(54)=18:
1000div18=55 com resto 10,
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7^1000equiv7^10pmod54

Passo 4

Agora calculamos 7^10bmod54 por quadrados sucessivos:
7^2=49pmod54,
7^4=(7^2)^2=49^2=2401equiv25pmod54,
7^8=(7^4)^2=25^2=625equiv31pmod54
Então
7^10=7^8cdot7^2equiv31cdot49=1519equiv7pmod54

Resposta

7^1000equiv7pmod54

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