Calcule o valor de para que os três feixes definidos pelas equações
tenham uma reta comum.
Passo 1
O enunciado pede o valor de para que os três feixes de retas tenham uma reta em comum. Cada feixe é dado pela combinação linear de duas retas, logo é o conjunto de todas as retas que passam pelo ponto de interseção dessas duas geradoras. Em consequência, existe uma reta comum se, e somente se, os três pontos-vértice de cada feixe forem colineares. Vamos então: . Calcular o ponto interseção de
e
. Calcular o ponto interseção de
e
. Calcular o ponto interseção de
e
. Exigir que sejam colineares.
Passo 2
Resolver
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Logo
Passo 3
Resolver
Somando:
6x = -24 Longrightarrow x=-4
Em 2x-3y=1:
-8 -3y =1 Longrightarrow y=-3
Logo
P2=(-4,-3)
Passo 4
Resolver
m(x+y)=-1, -,m x -4y =1
Da primeira x+y=-1/m. Substituindo na segunda:
m x +4y = -1
Mas x=-tfrac1m -y, então
ml(-tfrac1m -yr)+4y=-1 ;Longrightarrow; -1 - my +4y=-1 ;Longrightarrow; (4-m)y=0
Se mneq4 vem y=0 e x=-1/m. Logo, para mneq0,4:
P3=l(-tfrac1m,,0r)
Para m=4 as duas geradoras coincidem (feixe degenerado), e m=0 não define P3.
Passo 5
Os pontos são colineares se
det x2-x1 & y2-y1 [6pt] x3-x1 & y3-y1 =0
Com
P1=l(x1,y1r), P2=l(-4,-3r), P3=l(-1/m,0r),
fazendo a conta do determinante e simplificando, obtemos a equação em m: