Calcule o valor de m para que os três feixes definidos pelas equações
2 x+3 y-8+k1(m x-3 y+5)=0
4 x+3 y+25+k2(2 x-3 y-1)=0
m x+m y+1+k3(-m x-4 y-1)=0
tenham uma reta comum.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que os três feixes de retas tenham uma reta em comum. Cada feixe é dado pela combinação linear de duas retas, logo é o conjunto de todas as retas que passam pelo ponto de interseção dessas duas geradoras. Em consequência, existe uma reta comum se, e somente se, os três pontos-vértice de cada feixe forem colineares. Vamos então:
1. Calcular o ponto P1 interseção de
2x+3y-8=0
e
m x -3y +5=0
2. Calcular o ponto P2 interseção de
4x+3y+25=0
e
2x-3y-1=0
3. Calcular o ponto P3 interseção de
m x + m y +1=0
e
-,m x -4y -1=0
4. Exigir que P1,P2,P3 sejam colineares.

Passo 2

Resolver
2x+3y=8, m x -3y=-5
Somando as duas equações:
(2+m)x = 3 Longrightarrow x = 3m+2
Substituindo em 2x+3y=8:
3y = 8 - 2cdot3m+2 = 8(m+2)-6m+2 = 8m+10m+2 Longrightarrow y = 8m+103(m+2)
Logo
P1 = l(tfrac3m+2,,tfrac8m+103(m+2)r), mneq -2

Passo 3

Resolver
4x+3y=-25, 2x-3y=1
Somando:
6x = -24 Longrightarrow x=-4
Em 2x-3y=1:
-8 -3y =1 Longrightarrow y=-3
Logo
P2=(-4,-3)

Passo 4

Resolver
m(x+y)=-1, -,m x -4y =1
Da primeira x+y=-1/m. Substituindo na segunda:
m x +4y = -1
Mas x=-tfrac1m -y, então
ml(-tfrac1m -yr)+4y=-1 ;Longrightarrow; -1 - my +4y=-1 ;Longrightarrow; (4-m)y=0
Se mneq4 vem y=0 e x=-1/m. Logo, para mneq0,4:
P3=l(-tfrac1m,,0r)
Para m=4 as duas geradoras coincidem (feixe degenerado), e m=0 não define P3.

Passo 5

Os pontos são colineares se
det x2-x1 & y2-y1 [6pt] x3-x1 & y3-y1 =0
Com
P1=l(x1,y1r), P2=l(-4,-3r), P3=l(-1/m,0r),
fazendo a conta do determinante e simplificando, obtemos a equação em m:
8m^3 +15m^2 -9m -14 = 0
Fatorando:
(m-1)(8m^2+23m+14)=0 Longrightarrow m=1,; m=-23pm916 ;Rightarrow; m=1,;m=-tfrac78,;m=-2
Como já excluímos m=-2 (torna P1 indefinido) e m=0,4 (tornam P3 indefinido ou degenerado), restam]

Resposta

m=1 ou m=-tfrac78

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