São dados os feixes de retas concorrentes:
3 x-2 y-6+k(x+2 y-2)=0
3 x-3 y+4+ell(2 x+3 y+1)=0
Obtenha a equação da reta comum aos dois feixes.

Passo 1

O exercício trata de dois feixes de retas concorrentes:
3x - 2y -6 + k(x + 2y -2)=0
e
3x - 3y +4 + ell(2x +3y +1)=0
Cada feixe é o conjunto de retas que passam pelo ponto de interseção das suas duas retas “fixas” (quando o parâmetro vale um valor que anula o termo com parâmetro). A reta comum aos dois feixes deve, portanto, passar pelos dois pontos de interseção dessas retas fixas.

Passo 2

Determinar o ponto P1 interseção das retas
3x - 2y -6 = 0,
x + 2y -2 = 0
Somando as equações:
(3x-2y)+(x+2y)=6+2implies 4x=8implies x=2
Substituindo em x+2y-2=0:
2+2y-2=0implies 2y=0implies y=0
Logo P1=(2,0).

Passo 3

Determinar o ponto P2 interseção das retas
3x - 3y +4 = 0,
2x + 3y +1 = 0
Da primeira vem x - y = -tfrac43, ou x=y-tfrac43. Substituindo em 2x+3y+1=0:
2l(y-tfrac43r)+3y+1=0implies 2y-tfrac83+3y+1=0implies 5y=tfrac53implies y=tfrac13,
x=tfrac13-tfrac43=-1
Logo P2=(-1,tfrac13).

Passo 4

A reta que passa por P1(2,0) e P2(-1,tfrac13) tem coeficiente angular
m=tfrac13-0-1-2=tfrac13-3=-tfrac19
Logo a equação em forma ponto-declive é
y-0=-tfrac19(x-2)implies y=-tfrac19x+tfrac29
Multiplicando por 9 e rearranjando:
x+9y-2=0

Resposta

x + 9y - 2 = 0

Exercícios de Livros Relacionados